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Sunday, August 27, 2006

Vectore en R3


Vectores en R3

Similares conceptos a los planteados en R2 pueden aplicarse a R3.
Vector de R3 es toda terna ordenada de Nos reales. v = (v1,v2,v3)
Para su representación se utilizan tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X,Y,Z
Se pueden plantear dos esquemas de representación, denominados “mano derecha” y mano izquierda. Generalmente se usa el de la mano derecha

Esquema de la mano derecha Esquema de la mano izquierda












En el primero, el índice de la mano derecha representa al eje X, el pulgar al eje Z y el anular al eje Y (en posición de la mano propia enfrentada al observador). El sentido de rotación X ® Y ® Z es anti-horario, como el empleado para medir ángulos

En el segundo, se considera el mismo esquema, pero con la mano izquierda. El sentido de rotación X ® Y ® Z es horario, o sea contrario al utilizado para medir ángulos

Vectores canónicos en R³
Los vectores canónicos en R3 son :
i = (1,0,0)
j = (0,1,0)
k= (0,0,1)






Puede verificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que el producto escalar es nulo para cualquier par

Todo vector de R3 se puede escribir como suma de los vectores canónicos multiplicados por un escalar. Cada término es la proyección del vector sobre el eje coordenado correspondiente. Se dice que v es combinación lineal de los vectores canónicos, concepto que se estudiará en detalle en la unidad siguiente.

v = v1 i + v2 j + v3 k

















Igual que en R², los vectores en R³ quedan definidos por su módulo, su dirección y sentido.

Módulo en R3
Representa la longitud del segmento orientado en R3, lo que puede comprobarse determinando v1 i + v2 j (componente según el plano XY ) y luego aplicando Pitágoras en el triángulo que forman esta componente, v3k y v (área sombreada fig. anterior).

Dirección y sentido de un vector
No es posible determinar la dirección en el espacio a partir del ángulo con un solo eje, ya que hay infinitos vectores que determinan el mismo ángulo q (contenidos en el cono según la fig. )




















0 £ a, b, γ < 2π


Propiedad: La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es 1
cos² a + cos² b + cos²γ = v1² + v2² + v3² = 1
v ²

Producto escalar en R³
u · v = u1v1 +u2v2+u3v3

Todas las propiedades expresadas en R² son extensivas a R³, incluidos los conceptos de ángulos y distancia entre vectores, ortogonalidad, y proyecciones.

Producto vectorial de dos vectores (o Producto Cruz)

x : R³x R³ ® R³
Es una operación definida sólo en R³ de la cual resulta un tercer vector.







Propiedades

Pueden justificarse a partir de las propiedades de los determinantes.

I. u x v = - (v x u) (Conmutación de filas)
II. (a u )x v = a( u x v) (Producto de una fila por un escalar)
III. u x (v + v´) = u x v + u x v´ (descomposición de una fila en suma de otras dos)
IV. Sean u y v no nulos: u // v Û u x v = 0 ( filas iguales o proporcionales)

Módulo del producto vectorial

Sea q el ángulo entre u y v : Þ

u x v ² = u ² v ² - (u · v)² Relación a demostrar por el alumno calculando:

u x v ² = (u2v3-u3v2)i + (u3v1-u1v3)j + (u1v2-u2v1)k ²

u x v ² = u ² v ² - (u · v)² = u ² v ² - u ² v ² cos²q = u ² v ² (1 – cos²q)

u x v ² = u ² v ² sen²q Þ u x v = u v senq (los módulos son no negativos)


Producto mixto o triple producto escalar

Es factible plantear el producto escalar entre un vector u x v y un tercer vector w:
u x v · w esta operación se denomina producto mixto

u x v · w = w1(u2v3-u3v2) +w2 (u3v1-u1v3) + w3(u1v2-u2v1)
Esto es el desarrollo por la tercera fila del determinante:


= u x v · w


Es fácil comprobar que :
u x v · w = u · v x w (El 2° término es el desarrollo por la 1ª fila del mismo determinante)

Otogonalidad de u x v respecto de u y de v
u x v ^ u y u x v ^ v , lo que es equivalente a escribir:
u x v · u = u x v · v = 0

u x v · u = = 0 ( dos filas iguales)

Similar situación se da en u x v · v = 0
Concluyendo, el producto vectorial a asigna a u y a v un vector u x v normal a ambos, o sea ^ al plano determinado por u y v. Es ésta una de las propiedades de mayor aplicación del producto vectorial, ya que dados dos vectores, permite encontrar un tercero normal al plano que ellos determinan.

Gráfica del producto vectorial
Analizaremos el producto vectorial entre los vectores canónicos, operando en sentido anti-horario:

i x j = k j x k = i k x i = j

= k = i = j


Los mismos productos conmutados dan los elementos opuestos


En i x j el giro i®j es anti-horario Þ i x j tiene sentido según k , respondiendo al esquema mano derecha. En j x i el giro es horario Þ i resulta contrario a k . Lo mismo sucede con los demás productos intercanónicos.
Extendemos esto al producto entre vectores cualesquiera: si en u x v el giro de u hacia v es anti-horario, u x v, normal al plano de u y v, mantiene el esquema antihorario y se representa saliendo del plano como un tirabuzón que se desenrosca. Esto se interpreta también colocando la mano derecha abierta paralela al primer vector, con los dedos apuntando en el sentido del vector, de modo que se pueda cerrar hacia el segundo. La posición del pulgar indica el sentido del producto vectorial. En la figura, para llevar v hacia u se debe colocar el pulgar hacia abajo.





Aplicación geométrica del Producto vectorial y del producto mixto.

a) El módulo del producto vectorial u x v es igual al área S del paralelogramo definido por u y por v

S = h v

h = u senq Þ

S = u v senq = u x v












b) El producto mixto entre tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que éstos determinan.

V = S base x h
V = u x v x h

h = w cosb

V= u x v w cosb
V= u x v · w

















Vectores coplanares


Los tres pertenecen al mismo plano, entonces el volumen que encierran es nulo.

= 0
Ecuacion de la recta en el espacio

Una recta en el espacio queda definida por dos puntos conocidos, o bien por un punto y su dirección.
Sean los puntos de R³ P1= ( x1,y1,z1) y P2= (x2,y2,z2)
®
El vector v representante del segmento orientado P1P2 tiene como componentes
v = (x2-x1)i + (y2-y1)j +(z2-z1) k

v es paralelo a la recta definida por P1 y P2.

Consideramos un punto genérico de la recta P= (x, y ,z)


















Desarrollando las componentes de la ecuación:

x i + i j + z k = x1 i + y1 j + z1 k + t(x2-x1) i + t (y2-y1)j + t (z2-z1) k
Þ x = x1 + t (x2 - x1) y = y1 + t (y2 - y1)
z = z1 + t (z2 - z1)
Ecuación paramétrica





Þ x – x1 = t
x – x1 = y – y1 = z – z1
a b c
Ecuación simétrica (x2 - x1)
y – y1 = t Þ
(y2 – y1)
z – z1 = t
(z2 – z1)

a, b ,c son determinados a partir de las diferencias de las coordenadas de P2 Y P1, puntos conocidos.
Si la referencia es un solo punto (P1) y la dirección de un vector v paralelo a la recta, a, b y c están dados por las componentes de v.
La ecuación simétrica requiere que a, b y c sean no nulos.
Supongamos el caso en que c=0:
La paramétrica correspondiente se reduce a z= z1 (para cualquier t) , es decir en la recta los valores de z no varían Þ Î a un plano // al XY, y z1 es la distancia de la recta al plano XY.
La ecuación simétrica tiene la forma
x – x1 = y – y1 ; z = z1
a b

Recta en un plano // al XY

Si dos números directores son nulos (Ej. b y c) Þ la recta no varía en y ni en z Þ es paralela al eje restante ( X para el ejemplo).











1 Comments:

Blogger Shara said...

Hi ALBERTO, I want to introduce you to http://freearticle.name

8:20 AM  

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